Фрактали – річ у собі
Нескінченність та імовірність – одні з найбільш абстрактних понять сучасної математики. Фрактали певною мірою містять у собі і те, й інше, але це реальні об’єкти, що оточують нас скрізь – у природі та навіть мистецтві.
Абстрактні фрактали
Математика працює з абстракціями, та все ж це мова для опису реальності, тож за кожною абстракцією стоїть справжній предмет або явище. У цьому сенсі її можна порівняти з українською мовою, де замість слів – рівняння та нерівності. З таких «математичних слів» будують «речення та тексти», або математичні моделі, які допомагають науковцям інших галузей. Класичний приклад – це модель хижак-жертва, система рівнянь, що описує коливання чисельності певної популяції тварин.
Аби зрозуміти, що ж таке фрактали, скористаємося математикою за прямим призначенням – опишемо їх.
Звісно, тут не буде купи чисел та формул. Лише з’явиться певна змінна x. Підставляючи у неї різні значення, ми побачимо, як влаштовані фрактали і яких чудернацьких форм вони набувають. Фрактал – це множина, подібна сама до себе. Тепер підставимо у змінну перше значення: геометричну фігуру.
Для початку потрібна звичайна, не фрактальна фігура. Нехай це буде рівносторонній трикутник. Кожну сторону ділимо на три рівні частини і на «середньому» відрізку малюємо ще один рівносторонній трикутник. Утвориться зірка. Тепер продублюємо цю операцію на кожній з 12 її сторін. Повторивши її нескінченну кількість разів, ми побачимо, що візерунок буде однаковим у будь-якому масштабі, тобто подібним собі.
Перший приклад фракталу – і відразу перший
парадокс. Ми будували рівносторонні трикутники до нескінченності. Отже, довжина кривої, яка утворює фігуру, – нескінченна, але водночас площа отриманої «сніжинки» – скінченна. Річ у тім, що довжина сторони наших трикутників буде постійно зменшуватись, і в якийсь момент, коли їхня площа стане настільки малою, що нею можна буде знехтувати, довжина кривої буде далі нескінченно збільшуватися.
Математики-теоретики часто нехтують тим, що здається несуттєвим, адже працюють в ідеальному світі. Та на практиці така зневажливість часто призводить до неочікуваних результатів.
Як малює природа?
У реальності нескінченних сніжинок поки не знайдено. Однак вони справді фрактальні і подібні за структурою до зображеної вище фігури, але скінченні. Звісно, щоб побачити фрактали у природі, не обов’язково чекати на зиму. Уважно придивившись, можна побачити, що гілки дерев теж повторюють один і той самий візерунок. Блискавки у небі, мушлі біля моря та хвилі у цьому морі – також фрактали.
Існують і менш очевидні приклади: берегові лінії та українські (і не тільки) кордони схожі на мапах різного масштабу. До речі, саме обриси континентів наводив у приклад Бенуа Мандельброт, математик, що у 1975 році визначив термін «фрактал». І ось як саме він це зробив.
Уявіть собі лінію, квадрат та куб. Лінія має довжину, квадрат, відповідно, – довжину і ширину, а куб – ще й висоту. Лінії відповідає число 1, квадрату – 2, а кубу – 3. Ці числа називають розмірністю. Здається, що це число завжди має бути цілим, але Мандельброт визначив фрактали, як множини, що мають дробову розмірність. Приклад – це крива, яку отримують, «ламаючи» пряму, тож вона складається із великої кількості ліній, що мають розмірність 1. Якщо зламати криву дуже багато разів, вона покриває собою всю площину, у якій вона намальована, і її розмірність стане рівна двом. Розмірність звичайної кривої буде дробовою (наприклад, 1.632 чи 1.5).
Дивовижно, що електроенцефалограма – графік, який відображає електричну активність головного мозку, – теж фрактал, розмірність якого відрізняється у здорових людей та епілептиків. Людське тіло (наприклад, кровоносна та нервова системи) багато у чому фрактальне.
Отож, як би ми не змінювали масштаб – зменшували до атомів чи збільшували до планетарних систем – картина буде підозріло схожою. Не дивно, що, живучи у такому світі, люди підсвідомо вивчали фрактали задовго до того, як їх визначив Мандельброт.
Як малює людина?
«Коли письменник (і взагалі митець), каже, що працював і не думав про правила, це лише означає, що він не знав, що знає правила»
Умберто Еко, «Ім’я рози»
Справді, архітектори та художники здавна використовували фрактальні елементи, черпаючи натхнення з природи. Окремо варто зупинитися на митці, який надихався не зовнішнім, а внутрішнім, доводячи фрактальність нашого мислення. Йдеться про американця Джексона Поллока. Він малював у специфічній техніці – проливав або бризкав фарбу на розташоване горизонтально полотно, наче танцюючи (він називав це крапельною технікою – drip technique або картиною дії – action painting). Поллок був представником абстрактного експресіонізму, і, на перший погляд, його картини не мають нічого спільного з реальністю. Та з якогось моменту під час створення, здавалось би, абсолютно хаотичних картин з’являються фрактальні структури. Розмірність деяких картин становить 1,7 або навіть 1,9.
В іншому виді мистецтва, поезії, також є фрактали. Простий та водночас яскравий приклад – знайомі з дитинства нескінченні вірші: «У попа була собака, він її любив, вона з’їла шматок м’яса, він її убив, в землю закопав і напис написав: “У попа була собака…”». У якому б масштабі ми не дивилися на цю історію, вона завжди звучатиме однаково.
«Я питав себе, чи може книга бути нескінченною. На думку не спадає нічого, окрім циклічного тому, що йде по колу, тому, у якому остання сторінка повторює першу, що і дозволяє їй тривати скільки завгодно», – писав Борхес.
Творчість ще одного письменника, Рея Бредбері, – хоч і скінченна, але теж дивним чином пов’язана з фракталами.
Ще абстрактніші фрактали
В оповіданні Бредбері «Гуркіт грому» йдеться про мандрівників у часі, які випадково вбили метелика в минулому, і це потягнуло за собою жахливі наслідки у майбутньому. Згодом виявилося: Бредбері передбачив новий розділ математики – теорію хаосу. Її суть полягає у тому, що у дуже складних системах, як-от погода у певній місцевості, навіть від мізерно маленької зміни параметрів залежить, як будуть розвиватися події загалом. Не дивно, що батько теорії хаосу Едвард Лоренц – метеоролог.
Через 20 років після появи «Гуркоту грому», Лоренц, виступаючи на конференції, навів приклад про помах крил метелика у Бразилії, який може викликати торнадо у США (або запобігти йому). Тому це явище називають «ефектом метелика» (крім того, назва його доповіді – «Передбачуваність: чи може змах крил метелика у Бразилії спричинити торнадо у Техасі?», а форма одного з основних графіків у цій роботі нагадує крила метелика).
Здавалося б, до чого тут фрактали? Щоб дати відповідь на це запитання, потрібно побудувати так званий трикутник Серпінського.
Для початку позначимо три точки звичайного трикутника, не з’єднуючи їх між собою. Тепер абсолютно в будь-якому місці позначаємо четверту точку – D. Далі треба лише випадковим чином вибирати точку, на половині шляху від D до обраної точки помітити нову точку і продублювати для неї цю дію. Проробивши це дуже велику кількість разів, побачимо дивовижну картину. Виявилося, що в трикутнику утворився візерунок із незаповнених ділянок у вигляді більших та менших трикутників, хоча точки обиралися випадково.
Експериментальним шляхом ми отримали фрактал, що ілюструє «невипадковість хаосу». Німецький філософ Фрідріх Геґель писав, що випадковість – це незбагненна закономірність. Справді, коли ви кидаєте гральний кубик, результат насправді є не випадковим, а хаотичним. Адже насправді на кубик впливають дуже багато факторів (як-от густина повітря, поверхня, на яку він падає). Точно знаючи всі параметри конкретного кидка, теоретично можна передбачити сторону, яка випаде, але це дуже складно, тож простіше вважати її випадковою.
Далі – більше. Виявилося, що за принципом побудови трикутника Серпінського можна отримати, наприклад, листок папороті (звичайно, це фрактал). Відмінність лише у тому, що потрібно взяти два трикутники – менший і більший, і точки повинні частіше (з більшою ймовірністю) прямувати до вершин великого трикутника.
Ось наша змінна і перетворилася на обіцяний фрактал – реальний, але заснований на поняттях нескінченності та ймовірності.
Звісно, як і будь-яка мова, математика – лише неідеальне відображення реальності. Наприклад, не існує мови, якою можна описати людські почуття повною мірою. Мова повинна постійно збагачуватися новими, дедалі точнішими та вишуканішими словами, давати змогу краще висловлювати думки. Слово «фрактал», безумовно, витончене, особливо у порівнянні із традиційними «квадрат» і «трикутник». Мабуть, для математиків майбутнього фрактали будуть видаватись ідеальними, як сьогодні геометричні фігури, вигадані колись давніми греками.
Фрактали – річ у собі
Текст:
ІВАН КУДІН.
Математик. |